Идеальной и вязкой жидкости

Уравнение Бернулли для элементарной струйки

В работе [1] для установившегося движения идеальной жидкости закон сохранения энергии был получен в следующем виде:

(2.18)

Это и есть уравнение Бернулли, выражающее закон сохранения механической энергии единичной массы жидкости. Следовательно, при установившемся движении невязкой, несжимаемой (идеальной) жидкости полная механическая удельная (т.е. отнесенная к единице количества жидкости) энергия потока остается постоянной величиной вдоль линии тока.

Для элементарной струйки идеальной жидкости уравнение Бернулли обычно записывают в виде энергий, отнесенных к единице веса жидкости (уравнение (2.18) разделим на g):

(2.19)

Здесь w – скорость в рассматриваемом сечении элементарной струйки, p – давление в том же сечении, z – геометрическая высота расположения этого сечения относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости сравнения, r – плотность жидкости.

В гидравлике энергия, отнесенная к единице веса жидкости, называется напором и измеряется высотой столба жидкости. В уравнении Бернулли (2.19) – скоростной напор, характеризует кинетическую энергию элементарной струйки данного сечения; – пьезометрический напор; z – геометрический напор. Сумма пьезометрического и геометрического напоров называется статическим напором, который характеризует потенциальную энергию данного сечения элементарной струйки. Следовательно, физический смысл уравнения Бернулли можно сформулировать следующим образом: сумма скоростного, пьезометрического и геометрического напоров (полный гидродинамический напор) в любом сечении элементарной струйки невязкой жидкости есть величина постоянная. Из уравнения Бернулли следует, что увеличение какой-либо составляющей полного гидродинамического напора (например, скоростного напора) приведет к изменению другой составляющей (например, пьезометрической) и наоборот.

Таким образом, уравнение Бернулли является механическим выражением закона сохранения и превращения энергии применительно к движущейся идеальной жидкости. Вышесказанное представим в виде диаграммы (рис. 2.7). Для этого запишем уравнение Бернулли для двух сечений элементарной струйки невязкой жидкости:

(2.20)

В струйке идеальной жидкости полная удельная энергия по длине струйки постоянна.

Рис. 2.7. Диаграмма Бернулли

для элементарной струйки идеальной жидкости

Для измерения скоростного напора используется пьезометрическая трубка и трубка Пито (рис. 2.8).

Реальные жидкости вязкие. Движение реальной жидкости ввиду
её вязкости сопровождается затратой части энергии на преодоление
трения (рис. 2.9).

Это обстоятельство можно учесть, введя дополнительный член
в уравнение Бернулли:

(2.21)

где – потеря напора жидкости между сечениями 1–2 элементарной струйки.

Рис. 2.8. Измерение скоростного напора жидкости с помощью:

1 – пьезометрической трубки; 2 – трубки Пито

Рис. 2.9. Диаграмма Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости

По физическому смыслу представляет собой удельную работу сил сопротивления. Потеря напора по длине струйки увеличивается
в общем случае непропорционально длине. Количественно зависит
от физической природы жидкости. В вязкой жидкости энергия по длине элементарной струйки уменьшается, переходя в результате трения в тепловую.