Нечеткий подход в задачах измерения. Функция принадлежности

В задачах измерения часто встречается неопределенность, обусловленная невозможностью получения полной и объективной исходной информации. Частично это компенсируется привлечением суждений экспертов, однако математическая формализация их лингвистических высказываний не всегда возможна в рамках классической математики.

Одним из основных принципов, на которые опирается классическая математика, является принцип исключенного третьего: любое высказывание либо истинно, либо ложно (третьего не дано). Однако высказывания эксперта часто неоднозначны, размыты, нечетки, например: «число, примерно равное 100»; «число от 30 до 40» и т.п. Обычно в таких случаях используют вероятностный подход, но он не всегда возможен. В большинстве случаев экспертизу не удается провести несколько раз; даже если это возможно, изменяются условия экспертизы или оценки экспертов, что приводит к нарушению основного принципа теории вероятностей — статистической устойчивости.

Теория нечетких множеств, предложенная Л. Заде в 1965 г., позволяет существенно расширить круг проблем, к которым применимы математические методы, эффективно использовать интуицию и неформальные знания специалистов, структурировать высказывания, разделенные не очень точными границами.

Рассмотрим основные элементы теории нечетких множеств.

Пусть Х — полное множество, охватывающее все объекты некоторого класса. Нечеткое подмножество А множества Х, называемое нечетким множеством, определяется через функцию принадлежности m_А(х). Эта функция отображает элементы множества x_i множества Х на множество чисел отрезка [0, 1], которые указывают степень принадлежности каждого элемента нечеткому множеству А.

В теории нечетких множеств полезным является использование понятия лингвистической переменной. Приведем следующий пример, иллюстрирующий смысл лингвистической переменной.

Оценивается стоимость выпускаемой продукции с помощью понятий «малая», «средняя», «высокая». Стоимость продукции изменяется от 100 до 5000 руб. Формализация такого описания может быть осуществлена при помощи лингвистической переменной

á«Стоимость», Т, [100, 5000]ñ,

где Т = {«малая», «средняя», «высокая»}. Значения лингвистической переменной «Стоимость» из терм-множества Т описываются нечеткими переменными с соответствующими наименованиями и ограничениями на возможные значения. Так, значение «малая» может быть задано нечетким множеством

{á1/100ñ, á0,8/700ñ, á0,6/1000ñ, á0,2/2000ñ, á0,1/3000ñ},

т.е. стоимость 100 руб. безусловно рассматривается как малая, стоимость 700 руб. как малая с субъективной вероятностью 0,8 и т.д. Стоимость 3000 руб. может быть оценена как малая всего с вероятностью 0,1.

Полученные дискретные оценки являются точками непрерывной функции принадлежности, в данном случае монотонно убывающей от 1 до 0 по мере увеличения стоимости (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Функция принадлежности для терма «малая»

Значения «средняя» может быть задано другим нечетким множеством, например:

{á0,1/500ñ, á0,2/1000ñ, á0,9/2000ñ, á1/2500ñ, á0,9/3000ñ, á0,2/4000ñ, á0,1/4500ñ},

т.е. в этом случае непрерывная функция принадлежности представляется колоколообразной кривой с максимумом субъективной вероятности при стоимости продукции 2500 руб (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Функция принадлежности для терма «средняя»

Для построения функции принадлежности применяют две группы методов: прямые и косвенные. В прямых методах предполагается, что степени принадлежности элементов множества возможных значений нечеткой переменной непосредственно задается либо одним экспертом, либо коллективом экспертов. Эксперт каждому элементу х множества Х ставит в соответствие определенную степень принадлежности m_А(х), которая, по его мнению, наилучшим образом согласуется со смысловой интерпретацией нечеткого множества А. В данном случае степень принадлежности интерпретируется не как вероятность, а как субъективная мера (возможность) того, насколько элемент хÎХ соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством А.

Прямые методы как для одного эксперта, так и для группы экспертов имеют общий недостаток: при оценке степеней принадлежности эксперты фактически производят самооценку своих знаний по данной предметной области, а поскольку человеку свойственно ошибаться в самооценке, постольку результаты экспертного опроса являются принципиально субъективными. Так, отмечена субъективная склонность экспертов сдвигать оценки объектов в направлении концов оценочной шкалы (т.н. U-образное шкалирование). Поэтому измерения, основанные на непосредственном определении принадлежности, можно использовать только в том случае, когда случайные ошибки незначительны или маловероятны.

Косвенные методы, в противоположность прямым, основаны на более «осторожном» использовании человека в качестве измерительного прибора. Эффективным в этой группы является метод анализа иерархий Т. Саати. Приводим пример его использования.

Для решения задачи оценки количества автомобилей на регулируемом перекрестке формируется лингвистическая переменная, представленная в виде набора

á«Количество», Т, Хñ,

где Т={«малое», «среднее», «большое»} — терм-множество лингвистической переменной, Х={0, 5, 10, 15, ..., 40} — базовое множество (количество автомобилей).

Рассмотрим последовательность расчета компонентов нечеткого множества с помощью экспертно-аналитической системы Expert Decide, что позволит не только формализовать процедуру опроса экспертов, но и вычислить исходные данные для построения функции принадлежности.

Для проведения парных сравнений достаточно построить простейшую иерархию, содержащую два уровня: фокус — терм «среднее», альтернативы — число автомобилей 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. Задача формулируется как попарное сравнение числа автомобилей относительно терма «среднее», т.е., какое из них в большей мере отвечает данной субъективной оценке. Так, число «20» оценивается по сравнению с числом «0» как «абсолютно значимое», т.е. максимально подтверждается ощутимость предпочтения числа автомобилей 20 против 0. Число «10» по сравнению с этим же значением «0» оценивается как «очевидно значимое», т.е. имеется убедительное доказательство большей значимости числа автомобилей 20 против 0 и т.д. (табл. 2.3).

Таблица 2.3

Матрица парных сравнений при построении функции принадлежности

Диаграмма приоритетов значений интенсивности движения на перекрестке графически иллюстрирует функцию принадлежности (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Иерархия альтернатив при построении функции принадлежности

Для представления функция принадлежности в стандартном виде необходимо поделить все величины приоритетов на максимальное значение 0,322. В итоге получаем нечеткое множество С = {á0,06/0ñ, á0,12/5ñ, á0,24/10ñ, á0,53/15ñ, á1/20ñ, á0,53/25ñ, á0,24/30ñ, á0,12/35ñ, á0,06/40ñ}.

Помимо автоматизации расчетов, к положительным сторонам формирования функция принадлежности описанным способом является возможность количественной оценки надежности суждений эксперта (по критерию транзитивности): в данном примере отношение согласованности составило ОС=0,018 при критической его величине 0,10, что интерпретируется как хороший результат.

Элементы теории нечетких множеств могут быть успешно применены для принятия решений в условиях неопределенности.

Литература

1. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 363 с.

2. Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. Системный анализ в управлении: Учеб. пособие / Под ред. А.А. Емельянова. — М.: Финансы и статистика, 2002. — 368 с.

3. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976. — 165 с.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. — 543 с.

5. Кузнецов А.И., Шуметов В.Г. Expert Decide для Windows 95, 98, NT, 2000, Ме. Версия 2.2. Руководство пользователя. — Орел: ОРАГС, 2001. — 44 с.

6. Литвак Б.Г. Разработка управленческого решения: Учебник. — М.: Дело, 2002. — 392 с.

7. Мелихов А.Н., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. — М.: Наука, 1990.

8. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. — М.: Радио и связь, 1993. — 320 с.

9. Уемов А.И. Системный подход и общая теория систем. — М.: Мысль, 1978. — 272 с.

10. Оптимизация качества. Сложные продукты и процессы / Э.В. Калинина, А.Г. Лапига, В.В. Поляков и др. — М.: Химия, 1989. — 256 с.

11. Социальная статистика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 1999. — 416 с.

12. Статистика. Учебник / Под ред И.И. Елисеевой. — М.: ООО «ВИТРЭМ», 2002. — 448 с.

13. Шуметов В.Г. Статистика и статистические методы в познании социальных процессов: региональный аспект // Региональная политика как фактор стабилизации и устойчивости развития. Материалы круглого стола (июнь 1999). — Орел: ОРАГС, 2000. — С.113-115.

14. Harrington E.C. The desirable function // Industrial Quality Control. — 1965. — V.21. — №10. — P.124-131.