Свойства линейных операций.

рис.6 рис.7 рис.8

§3.Проекция вектора на ось.

Определение 1. Осью называется прямая, на которой задано положительное направление.

Числовой осью называют ось, на которой заданы начало отсчета и масштаб (единичный отрезок).

Все точки числовой оси находятся во взаимно – однозначном соответствии с множеством действительных чисел. Началу отсчета, естественно, ставится в соответствие число 0.

Соответствующие точкам числа являются координатами точек относительно этой числовой оси.

Рассматривая некоторую ось u (не числовую), будем предполагать (по умолчанию) наличие единого масштаба во всем пространстве, содержащем эту ось.

Определение 2.Величиной отрезка [АВ] (обозначается АВ) называется число, равное длине этого отрезка и взятое со знаком «+», если направлен по оси и со знаком «−», если − против, т.е. .

А' В' и

рис.9

Основные свойства величин отрезков(будем считать, что тт. А, В и С лежат на оси и ):

1. АВ = −ВА {Очевидно}
2. 

{При расположении точек в указанном порядке по направлению оси − равенство очевидно.

Пусть точки расположены иначе, например: В, С, А → ВА = ВС + СА →

−АВ = ВС −АС → АС = АВ + ВС. Остальные случаи доказываются аналогично}

1. Пусть и – числовая ось, а А_и и В_и − координаты точек А и В на этой оси. Тогда

АВ = В_и − А_и . {Очевидно}

Рассмотрим теперь произвольный вектор и ось u (рис.9).

Определение 3.Ортогональной проекцией вектора на ось и называется величина отрезка А'В', где А' и В' − ортогональные проекции точек А и В на эту ось (рис.9).

Пр_и = А'В' .

Из определения сразу следует, что проекция вектора на ось есть число.

Если начало вектора поместить на ось и угол между вектором и осью обозначить через φ, то для вычисления проекции имеем очевидное соотношение: Пр_и = При этом необходимо учитывать, что угол φ отсчитывается от оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки. Если е_и − орт, сонаправленный оси и, то в частном случае .

Замечание. Можно рассматривать и не ортогональные проекции вектора на ось. Для этого следует провести из концов вектора параллельные прямые, не перпендикулярные оси до пересечения с ней. Все основные свойства ортогональных проекций будут выполняться. Однако, в дальнейшем, по умолчанию, все проекции мы будем считать ортогональными.