Частотные характеристики САР

Понятие частотной характеристики применимо как к отдельному звену, так и к системе в целом. Если на вход разомкнутой линейной системы (или звена) подать гармоническое возмущение, то по истечении некоторого времени (время перех. процесса) на выходе звена (системы) установится тоже гармоническое изменение выходной величины, с той же частотой, но другой амплитудой и фазой.

И амплитуда и фаза зависят от частоты входного сигнала. По характеристикам выхода можно судить о динамических свойствах.

сигнал на вход системы.

где по формуле Эйлера имеем:

- характеризует разность фаз (фазовый сдвиг)

Теперь преобразуем вход и выход по Фурье (частный случай преобразования Лапласа)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Комплексной частотной функцией называется отношение изображения выхода по Фурье к изображению входа по Фурье.

Предположим, как было ранее, вход и выход связывают дифференциальные соотношения:

- аналогично ППЛ (старшие производные – аналогично).

Тогда, преобразуя по Фурье вход и выход, имеем:

;

.

Легко видеть, что это соотношение – передаточная функция системы, в которой сделана подстановка . Поэтому в дальнейшем будем получать частотную функцию (ЧФ) системы (или звена) из ПФ обычной подстановкой .

.

В декартовых координатах ЧФ – вектор, а геометрическое место точек концов этого вектора – годограф.

Годограф – это фактически график АФЧХ при изменении . Т.е. в декартовых координатах:

,

.

Т.е. в полярных координатах

- определяет изменение амплитуды колебаний на выходе,

- определяет изменение фазы колебаний на выходе по отношению к колебаниям на входе, происходящим с частотой .

Вообще говоря, в соответствии с преобразованием Фурье, необходимо строить АФЧХ системы (звена), изменяя частоту от до + . Однако ветвь характеристики, получается при (- ;0), может быть получена как зеркальное отображение относительно вещественной оси ветви (0; ). В дальнейшем ограничимся в пасчётах положительными значениями .