ТЕОРЕМА О СОВМЕСТИМОСТИ (СЛАУ)
В общем виде система линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn записывается так:
(1)
Кратко СЛАУ (1) может быть записана так:
(2)
или
где
A= , (3)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если присоединить к матрице А столбец свободных членов, то получится матрица , которая называется расширенной матрицей СЛАУ (1):
A= (4)
Из определения матрицы A СЛАУ (1) и расширенной матрицы ясно, что их ранги и либо равны между собой, либо ранг на единицу больше, чем . Вопрос о совместности СЛАУ (1) решается с помощью теоремы Кронекера-Капелли.
ТЕОРЕМА 1. СЛАУ (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы A, то есть когда
ПРИМЕР. Исследовать на совместимость следующую СЛАУ:
Составим матрицу данной системы и вычислим ее ранг:
поскольку то .
Далее , составим расширенную матрицу системы
Так как а окаймляющий его минор
то
Итак, то есть данная система совместна.
СЛЕДСТВИЕ 1. Если СЛАУ (1) совместна и ранг матрицы A системы (1) равен числу неизвестных п, то система имеет единственное решение.
СЛЕДСТВИЕ 2.Если система (1) совместна и ранг матрицы меньше числа неизвестных n, то система имеет бесчисленное множество решений.
ТЕОРЕМА 2.Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам
где
,
.
.
4. РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ СЛАУ ИЗ m УРАВНЕНИЙ
С n НЕИЗВЕСТНЫМИ
Пусть дана система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (1). Пусть ranqA= ranq , то есть система совместна. Не ограничиваясь общностью, будем считать, что базисный минор располагается в первых строках и столбцах матрицы A. Отбросив последние m-r уравнений системы (1), запишем укороченную систему
(2)
которая эквивалентна исходной.
Назовем неизвестные x1 ,x2 , ..., xr базисными, а xr+1 , ..., xn- свободными. Перенесем слагаемыe, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнения (2). В результате, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно базисных неизвестных
(3)
которая для каждого набора значений свободных неизвестных xr+1= c1, xr+2= c2, ..., xn=cn-r. имеет единственное решение: x1= f1,(c1, c2 , ..., cn-r), x2= f2,(c1, c2 , ..., cn-r), ..., xr= fr,(c1, c2 , ..., cn-r). Решение системы (3) можно определить либо по методу Крамера, либо методом Гаусса.
Общее решение СЛАУ можно записать в виде матрицы-столбца следующим образом:
(4)
Дата добавления: 2016-06-05; просмотров: 1829;