ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Позиционные задачи
Геометрически закономерное изображение пространственного объекта на плоскости достигается при помощи метода проецирования, который является основным методом в начертательной геометрии и инженерной графике [1].
Позиционными называют задачи, связанные с решением на комплексном чертеже вопросов взаимного расположения геометрических объектов. Наибольший практический интерес здесь представляют две группы задач: задачи на взаимную принадлежность и задачи на взаимное пересечение.
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит линии плоскости; прямая линия принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости.
Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит конкретной линии поверхности.
Поверхности вращения
Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.
«Зеленую улицу» для их внедрения обеспечила простота формирования. Эти поверхности образуются вращением криволинейной или прямолинейной образующей m вокруг неподвижной прямой оси i
(рис.1). На чертеже ось поверхности вращения обычно располагают перпендикулярно одной плоскости проекций.
Геометрическая часть определителя поверхности вращения
состоит из этих двух линий: образующей m и оси i. Каждая точка образующей при вращении описывает окружность (параллель), плоскость
которой перпендикулярна оси вращения. Так создается каркас поверхности, состоящий из множества окружностей. Наименьшую параллель называют горлом, наибольшую - экватором.
Рис.2. Конус вращения | |
Рис.1. Поверхность вращения | Рис.3. Цилиндр вращения |
Кривые на поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения,
называются меридианами. Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом, он
определяет фронтальный очерк поверхности вращения.
Рис.4. Сфера |
Рис.5. Тор |
Рис.6. Эллипсоид вращения |
Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой m вокруг пересекающейся с ней прямой — оси i (рис.2). Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.
Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой m вокруг параллельной ей оси i (рис.3). Эту поверхность называют еще цилиндром вращения или прямым круговым цилиндром.
Сфера образуется вращением окружности m вокруг прямой i (рис.4).
Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующей окружности, то такой тор называется закрытым. Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (рис.5). Открытый тор называют еще кольцом.
Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка.
Эллипсоид вращения (рис.6) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис.7) - вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис.8) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный - вращением гиперболы вокруг действительной оси.
Рис.7. Параболоид вращения | Рис.8. Гиперболоид вращения |
Линейчатые поверхности
Линейчатой называют поверхность, которая образуется движением прямой линии (образующей) в пространстве по определённому закону [1].
Линейчатые поверхности с одной направляющей.
Коническая поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей l по криволинейной направляющей a. При этом одна точка образующей всегда неподвижна и является вершиной конической поверхности (рис.9). Определитель конической поверхности включает вершину S и направляющую a.
Цилиндрическая поверхность образуется перемещением прямой l, пересекающей кривую направляющую aи параллельно заданному направлению S (рис.10). Цилиндрическую поверхность можно рассматривать как частный случай конической поверхности с бесконечно удаленной вершиной.
Определитель цилиндрической поверхности состоит из направляющей aи направления S.
Торсом называется поверхность, образованная перемещением прямолинейной образующей l ,касающейся при своем движении во всех своих положениях некоторой пространственной кривой т, называемой ребром возврата (рис.11). Ребро возврата полностью задает торс и является геометрической частью определителя поверхности.
Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма
Поверхности с плоскостью параллелизма представляют собой множество прямых (образующих), параллельных некоторой плоскости (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные линии - направляющие.
Если направляющими являются две кривые линии, то поверхность называется цилиндроидом. Если одна из направляющих — прямая линия, а вторая — кривая, то поверхность называется коноидом и, наконец, если обе направляющие — прямые линии, то поверхность называют гиперболическим параболоидом или косой плоскостью.
Поверхность цилиндроида определяется плоскостью параллелизма Σ (рис.12) и двумя криволинейными направляющими a и b, которые могут быть пространственными кривыми или плоскими. В последнем случае
плоскости, в которых расположены направляющие, не должны совпадать друг с другом. Прямая линия l, оставаясь параллельной заданной плоскости Σ, при своем движении по направляющим образует поверхность цилиндроида.
Коноид и гиперболический параболоид отличаются от цилиндроида лишь видом направляющих, которые входят в набор постоянных элементов геометрических частей определителей рассматриваемых поверхностей. У коноида – прямая и кривая (рис.13), а у косой плоскости две прямые (рис.14).
Взаимное пересечение поверхностей
Задачи на взаимное пересечение связаны с построением точек, принадлежащих одновременно двум рассматриваемым геометрическим образам (прямой и плоскости, двум плоскостям, плоскости и поверхности, двум поверхностям). Каждую из этих общих точек строят в пересечении двух вспомогательных линий. Вспомогательные линии должны быть графически простыми и принадлежать одной вспомогательной поверхности (плоскости). Выбор вспомогательных поверхностей, несущих в себе вспомогательные линии, зависит от формы пересекающихся поверхностей. Совокупность построенных общих точек дает линию пересечения.
Пересечение поверхности с прямой
Рис.15. Пересечение поверхности с прямой |
Точки пересечения прямой l с поверхностью кругового конусаопределяются с помощью вспомогательной секущей плоскости Σ, проведённой через данную прямую (рис.15). Линия пересечения этой плоскости с конусом a пересекается с прямой в двух точках A и B.
Построение линии пересечения двух поверхностей
Линия пересечения двух поверхностей в общем виде представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на две части и более. Эти части могут быть и плоскими кривыми. При пересечении гранных поверхностей в общем случае получается пространственная ломаная линия. Обычно линию пересечения двух поверхностей строят по отдельным точкам. Сначала определяют опорные точки в пересечении контурных линий каждой поверхности с другой поверхностью. Опорные точки позволяют видеть, в каких пределах
расположены проекции линии пересечения и где между ними имеет смысл определить промежуточные или случайные точки. При этом нужно иметь в виду, что проекции линии пересечения всегда располагаются в пределах площади наложения одноименных проекций пересекающихся поверхностей.
Общим способом построения точек линии пересечения двух поверхностей является способ вспомогательных поверхностей. Вспомогательная поверхность пересекает данные поверхности по линиям (желательно графически простым). В пересечении этих линий получаются точки, принадлежащие обеим поверхностям, т. е. точки их линий пересечения. В качестве вспомогательных поверхностей обычно используют или плоскости, или сферы. Отсюда и способы построения линий пересечения поверхностей — способ вспомогательных секущих плоскостей и способ вспомогательных сфер.
Способ вспомогательных секущих плоскостей
Вспомогательные секущие плоскости могут быть общего и частного положения. Плоскости общего положения имеют ограниченное применение. Их удобно использовать при построении линий пересечения конических (пирамидальных) и цилиндрических (призматических) поверхностей общего вида, когда основания этих поверхностей расположены в одной и той же плоскости.
Рассмотрим на примере пересечения конуса вращения с цилиндром вращения построение их линии пересечения методом вспомогательных секущих плоскостей частного положения (рис.16).
Выбирать вспомогательные фронтальные плоскости, параллельные П2, для построения точек линии пересечения нецелесообразно, так как они будут пересекать конус по гиперболам. Графически простые линии a (окружности параллелей) на данной поверхности получаются от пересечения их горизонтальными плоскостями уровня Г. На цилиндре линии пересечения будут выглядеть прямыми b.
Все так называемые особые точки линии пересечения расположены на очерке цилиндра вращения – точки видимости на плоскости П1 - 3 и 4, а наивысшие точки 7 и 8, а также наинизшие 9 и 10 на плоскости П2. Соединяем одноименные проекции построенных точек с учетом их видимости плавными кривыми и получаем проекции искомой линии пересечения.
Так как поверхности в начертательной геометрии являются пустотелыми оболочками, то на фронтальной плоскости П2 обе поверхности будут видимыми.
Способ вспомогательных секущих концентрических сфер
Способ вспомогательных секущих концентрических сфер возможно использовать при условии, что в пересечении участвуют две поверхности вращения, чьи оси вращения пересекаются. Центр вспомогательных секущих сфер располагается в точке пересечения осей вращения. Сферы следует строить на плоскости, параллельной общей плоскости симметрии поверхностей.
На рис.17 показано пересечение двух конусов вращения. Их
оси в своем пересечении образуют общую для этих конусов плоскость симметрии, параллельную плоскости П2.
Рис.17. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих концентрических сфер
В данном случае применены вспомогательные сферы, проводимые из одного и того же центра - точки О пересечения осей конусов. Так, для нахождения точек А и В проведена сфера радиуса Rmin, вписанная в один из конусов и пересекающая другой.
Точки К и N, в которых, на горизонтальной проекции происходит разделение на видимую и невидимую части линии пересечения, определены при помощи плоскости, проходящей через ось конуса. Особые точки C,D,E и F на фронтальной проекции также построены при помощи плоскости, проходящей через ось конуса.
<== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
Действуюшие (эффективные) значения синусоидальных токов и напряжений. | | | Способы создания замедления движения. |
Дата добавления: 2017-11-21; просмотров: 1563;